數(shù)學(xué)高手進(jìn),數(shù)論題,200分送上？
證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，做如下運(yùn)算：如果是奇數(shù)，就×3再＋1，如果是偶數(shù)就÷2，如此反復(fù)運(yùn)算，最后<愛尬聊_頭條百科>的結(jié)果都是1.
比如5，是奇數(shù)，5*3+1=16，16是偶數(shù)，16/2=8，8又是偶數(shù)，8/2=4，依次，4/2=2，2/2=1，就算繼續(xù)算，1*3+1=4，再循環(huán)，還得1。
qkoufu1572 2022-01-24 22:09 [編輯本段]數(shù)學(xué)的猜想對(duì)于任何一臺(tái)自然數(shù)A,(1)a.如果A為偶數(shù),就除以2b.如果A為奇數(shù),就乘以3加上1得數(shù)記為B(2)將B代入A重新進(jìn)行(1)的運(yùn)算若干步后,得數(shù)為1.這個(gè)猜想就叫做角谷猜想,目前沒有反例,也沒有證明.但也有許多人曾經(jīng)嘗試去求證這個(gè)問題：[編輯本段]一臺(tái)錯(cuò)誤的證明最簡單的證明角谷（3n+1）猜想的方法因?yàn)槿魏闻紨?shù)都能變成2^a或一臺(tái)奇數(shù)乘2^b。前者在不停的除以2之后必定為1，因?yàn)樗鼈冎挥匈|(zhì)因數(shù)2。而后者則只能剩下一臺(tái)奇數(shù)，我們可以把偶數(shù)放在一邊不談。目前只剩下奇數(shù)了。我們假設(shè)一臺(tái)奇數(shù)m，當(dāng)他進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，變成3m+1。如果這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的話，那么就有（3m+1）/2^c＝m，且m不等于1。我們嘗試一下：當(dāng)c＝1時(shí)，3m+1＝2m，，，m＝-1，不符合，舍去；當(dāng)c＝2時(shí)，3m+1＝4m，，，m＝1，不符合，舍去；當(dāng)c＝3時(shí)，3m+1＝8m，，，m＝0.2，不符合，舍去；當(dāng)c＝4時(shí)，3m+1＝16m，，，m＝1/13，不符合，舍去；……………………可見，能推翻角古猜想的數(shù)只在1或以下的范圍，所以沒有數(shù)能推翻這個(gè)猜想，所以這個(gè)猜想是正確的。[編輯本段]錯(cuò)誤分析我不敢茍同以下這種所謂的證明：“我們假設(shè)一臺(tái)奇數(shù)m，當(dāng)他進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，變成3m+1。如果這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的話，那么就有（3m+1）/2^c＝m，且m不等于1。我們嘗試一下：當(dāng)c＝1時(shí)，3m+1＝2m，，，m＝-1，不符合，舍去；當(dāng)c＝2時(shí)，3m+1＝4m，，，m＝1，不符合，舍去；當(dāng)c＝3時(shí)，3m+1＝8m，，，m＝0.2，不符合，舍去；當(dāng)c＝4時(shí)，3m+1＝16m，，，m＝1/13，不符合，舍去；。。。。。。可見，能推翻角古猜想的數(shù)只在1或以下的范圍，所以沒有數(shù)能推翻這個(gè)猜想，所以這個(gè)猜想是正確的。”要知道（3m+1）/2^c＝m這個(gè)等式左右兩邊的m是不一樣的，雖然兩個(gè)m都是奇數(shù)，但此m非彼m！上面無非就是想說一臺(tái)奇數(shù)乘以3再加1必定可以被2的n次方除盡，當(dāng)然n到底是多大要看實(shí)際情況而定。然而這種表示方法是絕對(duì)錯(cuò)誤的！不信大家可以試一試，左邊代入任意奇數(shù)m，右邊得出的m絕大多數(shù)都是跟左邊代入任意奇數(shù)m不同的。還有就是這個(gè)證明明顯存在前后矛盾，前面假設(shè)一臺(tái)奇數(shù)m，后面卻得出m＝0.2、m＝1/13這樣的結(jié)果，難道0.2、1/13這些就是所謂的奇數(shù)？連兩個(gè)m都分不清，更何況是證明呢？大家不要再犯這樣的低級(jí)錯(cuò)誤了呀，腳踏實(shí)地才是真。[編輯本段]角谷猜想的一臺(tái)推廣角谷猜想又叫敘古拉猜想。它的一臺(tái)推廣是克拉茨問題，下面簡要說說這個(gè)問題：50年代開始,在國際數(shù)學(xué)界廣泛流行著這樣一臺(tái)奇怪有趣的數(shù)學(xué)問題:任意給定一臺(tái)自然數(shù)x,如果是偶數(shù),則變換成x/2,如果是奇數(shù),則變換成3x+1.此后,再對(duì)得數(shù)繼續(xù)進(jìn)行上述變換.例如x=52,可以陸續(xù)得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循環(huán):(4,2,1).再試其他的自然數(shù)也會(huì)得出相同的結(jié)果.這個(gè)叫做敘古拉猜想.上述變換,實(shí)際上是進(jìn)行下列函數(shù)的迭代{x/2(x是偶數(shù))<br/>C(x)=<br/>3x+1(x是奇數(shù))<br/>問題是,從任意一臺(tái)自然數(shù)開始,經(jīng)過有限次函數(shù)C迭代,能否最終得到循環(huán)(4,2,1),或者等價(jià)地說,最終得到1?據(jù)說克拉茨(L.Collatz)在1950年召開的一次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上談起過,因而許多人稱之為克拉茨問題.但是后來也有許多人獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)過同一臺(tái)問題,所以,從此以后也許為了避免引起問題的歸屬爭議,許多文獻(xiàn)稱之為3x+1問題.<br/>克拉茨問題吸引人之處在于C迭代過程中一旦出現(xiàn)2的冪,問題就解決了,而2的冪有無窮多個(gè),人們認(rèn)為只要迭代過程持續(xù)足夠長,必定會(huì)碰到一臺(tái)2的冪使問題以肯定形式得到解決.正是這種信念使得問題每到一處,便在那里掀起一股&quot;3x+1問題&quot;狂熱,不論是大學(xué)或是研究機(jī)構(gòu)都不同程度地卷入這一問題.許多數(shù)學(xué)家開始懸賞征解,有的500美元,有的1000英鎊.<br/>日本東京大學(xué)的米田信夫已經(jīng)對(duì)240大約是11000億以下的自然數(shù)做了檢驗(yàn).1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆蘭(M.Vermeulen)已經(jīng)對(duì)5.6*1013的自然數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)證,均未發(fā)現(xiàn)反例.題意如此清晰,明了,簡單,連小學(xué)生都能看懂的問題,卻難到了20世紀(jì)許多大數(shù)學(xué)家.著名學(xué)者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這一世界難題的時(shí)候,竟然冠以&quot;不要試圖去解決這些問題&quot;為標(biāo)題.經(jīng)過幾十年的探索與研究,人們似乎接受了大數(shù)學(xué)家厄特希(P.Erdos)的說法:&quot;數(shù)學(xué)還沒有成熟到足以解決這樣的問題!&quot;有人提議將3x+1問題作為下一臺(tái)費(fèi)爾馬問題.<br/>下面是我對(duì)克拉茨問題的初步研究結(jié)果,只是發(fā)現(xiàn)了一點(diǎn)點(diǎn)規(guī)律,距離解決還很遙遠(yuǎn).<br/>克拉茨命題:設(shè)n∈N,并且<br/>f(n)=n/2(如果n是偶數(shù))或者3n+1(如果n是奇數(shù))<br/>現(xiàn)用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...)).<br/>則存在有限正整數(shù)m∈N,使得fm(n)=1.(以下稱n/2為偶變換,3n+1為奇變換,并且稱先奇變換再偶變換為全變換)<br/>克拉茨命題的證明<br/>引理一:若n=2m,則fm(n)=1(m∈N)<br/>證明:當(dāng)m=1時(shí),f(n)=f(2)=2/2=1,命題成立,設(shè)當(dāng)m=k時(shí)成立,則當(dāng)m=k+1時(shí),fk+1(n)=f(fk(2k+1))=<br/>=f(2)=2/2=1.證畢.<br/>引理二:若n=1+4+42+43+...+4k=(4k+1-1)/(4-1)(k∈N),則有f(n)=3n+1=4k+1=22k+2,從而f2k+3(n)=1.<br/>證明:證明是顯然的,省略.<br/>引理三:若n=2m(4k+1-1)/(4-1)(m∈N),則有fm+2k+3(n)=1.<br/>證明:省略.<br/>定理一:集合O={X|X=2k-1,k∈N}對(duì)于變換f(X)是封閉的.證明:對(duì)于任意自然數(shù)n,若n=2m,則fm(n)=1,對(duì)于n=2k,經(jīng)過若干次偶變換,必然要變成奇數(shù),所以我們以下之考慮奇數(shù)的情形,即集合O的情形.對(duì)于奇數(shù),首先要進(jìn)行奇變換,伴隨而來的必然是偶變換,所以對(duì)于奇數(shù),肯定要進(jìn)行一次全變換.為了直觀起見,我們將奇數(shù)列及其全變換排列如下:k12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505102k-11357911131517192123252729313335373941434547495153555759616365676971737577798183858789919395979910113k-125811141720232629323538414447505356596265687174778083868992959810110410711011311611912212512813113413714014314614915223k-2147101316192225283134374043464952555861646770737633k-12581114172023262932353843k-21471013161953k-125863k-21473k-1283k-21第一行(2k-1)經(jīng)過全變換(3(2k-1)+1)/2=3k-1變成第二行,實(shí)際上等于第一行加上一臺(tái)k,其中的奇數(shù)5,11,...6k-1又回到了第一行.以下各行是等差數(shù)列3k-2,3k-1交錯(cuò)排列.由于最終都變成了奇數(shù),所以集合O對(duì)于變換f(X)是封閉的.定理二:任何奇自然數(shù)經(jīng)過若干次變換都會(huì)變成1.證明:我們看到奇數(shù)經(jīng)過全變換變成為3k-1型數(shù),3k-1型奇數(shù)經(jīng)過全變換有一半仍然變成3k-1型奇數(shù),而另一半3k-1型偶數(shù)經(jīng)過除以2有一半變成為3k-2型奇數(shù),而3k-2型奇數(shù)經(jīng)過全變換又變成為3k-1型數(shù).換句話說不可能經(jīng)過全變換得到3k-2型數(shù).下面我們只研究奇數(shù)經(jīng)過全變換的性質(zhì),因?yàn)閷?duì)于其他偶數(shù)經(jīng)過若干次偶變換,仍然要回到奇數(shù)的行列里來.我們首先證明奇數(shù)經(jīng)過若干次全變換必然會(huì)在某一步變成偶數(shù).設(shè)2a0-1是我們要研究的奇數(shù),它經(jīng)過全變換變成3a0-1,假設(shè)它是一臺(tái)奇數(shù)并且等于2a1-1,2a1-1又經(jīng)過全變換變成為3a1-1=2a2-1,3a2-1=2a3-1,...3ak-1-1=2ak-1,所以a1=(3/2)a0,a2=(3/2)a1,...ak=(3/2)ak-1.所以最后ak=(3/2)ka0,要使ak是整數(shù),可令a0=2kn,(n是奇數(shù)).于是ak=3kn.則從2a0-1經(jīng)過若干次全變換過程如下:2k+1n-1->3*2kn-1->32*2k-1n-1->33*2k-2n-1->...->3k+1n-1(偶數(shù)).然后我們證明經(jīng)過全變換變成偶數(shù)的奇數(shù)一定大于該偶數(shù)經(jīng)過若干偶變換之后得到的奇數(shù).設(shè)3k+1n-1=2mh(h為奇數(shù)),我們要證明h<2*3kn-1:h=(2*3kn-1+3kn)/2m<2*3kn-1,令a=3kn,b=2m-1,則有2ab>a+b,而這是顯然的.定義:以下我們將稱呼上述的連續(xù)全變換緊接著連續(xù)的偶變換的從奇數(shù)到另外一臺(tái)奇數(shù)的過程為一臺(tái)變換鏈.接著我們證明奇數(shù)經(jīng)過一臺(tái)變換鏈所得的奇數(shù)不可能是變換鏈中的任何中間結(jié)果,包括第一臺(tái)奇數(shù).若以B(n)表示奇數(shù)n的變換次數(shù),m是n經(jīng)過變換首次遇到的其他奇數(shù),則有定理三:B(n)=k+1+B(m),其中k是滿足3n+1=2km的非負(fù)整數(shù).證明:n經(jīng)過一次奇變換,再經(jīng)過k次偶變換變成奇數(shù)m,得證.舉例來說,B(15)=2+B(23)=2+2+B(35)=2+2+2+B(53)=2+2+2+5+1+B(5)=2+2+2+5+1+5=17原始克拉茨二十世紀(jì)30年代,克拉茨還在上大學(xué)的時(shí)候,受到一些著名的數(shù)學(xué)家影響,對(duì)于數(shù)論函數(shù)發(fā)生了興趣,為此研究了有關(guān)函數(shù)的迭代問題.在1932年7月1日的筆記本中,他研究了這樣一臺(tái)函數(shù):F(x)=2x/3（如果x被3整除或者(4x-1)/3（如果x被3除余1）或者(4x+1)/3（如果x被3除余2）則F(1)=1,F(2)=3,F(3)=2,F(4)=5,F(5)=7,F(6)=4,F(7)=9,F(8)=11,F(9)=6,...為了便于觀察上述迭代結(jié)果,我們將它們寫成置換的形式:123456789...1325749116...由此觀察到:對(duì)于x=2,3的F迭代產(chǎn)生循環(huán)(2,3)對(duì)于x=4,5,6,7,9的F迭代產(chǎn)生循環(huán)(5,7,9,6,4).接下來就是對(duì)x=8進(jìn)行迭代,克拉茨在這里遇到了困難,他不能確知,這個(gè)迭代是否會(huì)形成循環(huán),也不知道對(duì)全體自然數(shù)做迭代除了得到上述兩個(gè)循環(huán)之外,是否還會(huì)產(chǎn)生其他循環(huán).后人將這個(gè)問題稱為原始克拉茨問題.目前人們更感興趣的是它的逆問題:G(x)=3x/2（如果x是偶數(shù)）或者(3x+1)/4（如果x被4除余1）或者(3x-1)/4（如果x被4除余3）不難證明,G(x)恰是原始克拉茨函數(shù)F(x)的反函數(shù).對(duì)于任何正整數(shù)x做G迭代,會(huì)有什么樣的結(jié)果呢?經(jīng)計(jì)算,已經(jīng)得到下列四個(gè)循環(huán):(1),(2,3),(4,6,9,7,5),(44,66,99,74,111,83,62,93,70,105,79,59).因?yàn)镚迭代與F迭代是互逆的,由此知道,F迭代還應(yīng)有循環(huán)(59,79,105,70,93,62,83,111,74,99,66,44).G迭代還能有別的循環(huán)嗎?為了找到別的循環(huán),人們想到了下面的巧妙方法:由于G迭代使后項(xiàng)是前項(xiàng)的3/2(當(dāng)前項(xiàng)是偶數(shù)時(shí))或近似的3/4(當(dāng)前項(xiàng)是奇數(shù)).如果G迭代中出現(xiàn)循環(huán),比如迭代的第t項(xiàng)at與第s項(xiàng)as重復(fù)(t<s):at=as.但as/as-1,as-1/as-2,...at+1/at或等于3/2,或者近似于3/22,因而1=as/at=as/as-1*as-1/as-2*...at+1/at≈3m/2n這里m=s-t,m<n即2n≈3mlog22n≈log23m故n/m≈log23這就是說,為了尋找出有重復(fù)的項(xiàng)(即有循環(huán)),應(yīng)求出log23的漸進(jìn)分?jǐn)?shù)n/m,且m可能是一臺(tái)循環(huán)所包含的數(shù)的個(gè)數(shù),即循環(huán)的長度.log23展開成連分?jǐn)?shù)后,可得到下列緊缺度不同的漸進(jìn)分?jǐn)?shù):log23≈2/1,3/2,8/5,19/12,65/41,84/53,485/306,1054/665,24727/15601,...漸進(jìn)分?jǐn)?shù)2/1表明,31≈22,循環(huán)長度應(yīng)為1.實(shí)際上恰存在長度為1的循環(huán)(1).漸進(jìn)分?jǐn)?shù)3/2表明,32≈23,循環(huán)長度應(yīng)為2.實(shí)際上恰存在長度為2的循環(huán)(2,3).漸進(jìn)分?jǐn)?shù)8/5表明,35≈28,循環(huán)長度應(yīng)為5.實(shí)際上恰存在長度為5的循環(huán)(4,6,9,7,5).漸進(jìn)分?jǐn)?shù)19/12表明,312≈219,循環(huán)長度應(yīng)為12,實(shí)際上恰存在長度為12的循環(huán)(44,66,...59).這四個(gè)漸進(jìn)分?jǐn)?shù)的分母與實(shí)際存在的循環(huán)長度的一致性,給了人們一些啟發(fā)與信心,促使人們繼續(xù)考慮:是否存在長度為41,53,306,665,15601,...的循環(huán)?令人遺憾的是,已經(jīng)證明長度是41,53,306的循環(huán)肯定不存在,那么,是否會(huì)有長度為665,15601,...的循環(huán)呢?F迭代與G迭代到底能有哪些循環(huán)呢?人們正在努力探索中![編輯本段]角谷猜想深度擴(kuò)展任給一臺(tái)正整數(shù)n，如果n能被a整除，就將它變?yōu)閚/a,如果除后不能再整除，則將它乘b加c（即bn+c）。不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到d嗎？對(duì)此題的答案只能有3種：1不一定2一定不3一定都以下都是一定都的情況一a=b=c=d=m二a=mb=1c=-1d=0三a=mb=c=d=1四a=2b=2^m-1c=-1d=1以上（m>1)五a=2b=2^m-1c=1d=1六a=2b=c=d=2^m-1以上m為任意自然數(shù)最簡單的情況：a=b=c=d=2a=2b=1c=1d=1a=2b=1c=-1d=0原題只是五的當(dāng)m=2情況據(jù)說中國有許多人會(huì)證明了原題原題只是擴(kuò)展的一臺(tái)及其微小的部分以上數(shù)據(jù)全部成立沒有一臺(tái)反例這道題非常短小卻隱含著非常豐富的數(shù)學(xué)思想的...需要用到的東西非常多那些定理公式都非常完美可以表達(dá)非常普遍的數(shù)學(xué)規(guī)律這是一臺(tái)數(shù)學(xué)問題而不是指什么猜想絕對(duì)成立的此題重在培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考問題的能力以及逆向思維...其實(shí)這道題非常簡單不知道是不是整體證法了對(duì)以上情況的整體證法第一步：先構(gòu)造一臺(tái)2元函數(shù)這個(gè)函數(shù)揭示了一臺(tái)秘密：把能夠被a整除的全部的自然數(shù)都轉(zhuǎn)化成不能被a的自然數(shù)f(x,y)有a五a=2b=2^m-1c=1d=1用數(shù)學(xué)歸納整除規(guī)律因式分解自然數(shù)拆分...證明：(2^(mn)-1)/(2^n-1)=e當(dāng)m和n為自然數(shù)時(shí)，e為奇數(shù)m=1A1=(1)m=2A2=(1,5)m=3A3=(1,9,11)m=4A4=(1,17,19,23)m=5A5=(1,33,35,37,39)m=6A6=(1,65,67,71,73,79).........的組合無限數(shù)列A()的通項(xiàng)公式各小項(xiàng)都不能被2的m次方-1整除這個(gè)組合數(shù)列是非常簡單的只是無數(shù)個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)....
比如5，是奇數(shù)，5*3+1=16，16是偶數(shù)，16/2=8，8又是偶數(shù)，8/2=4，依次，4/2=2，2/2=1，就算繼續(xù)算，1*3+1=4，再循環(huán)，還得1。
qkoufu1572 2022-01-24 22:09 [編輯本段]數(shù)學(xué)的猜想對(duì)于任何一臺(tái)自然數(shù)A,(1)a.如果A為偶數(shù),就除以2b.如果A為奇數(shù),就乘以3加上1得數(shù)記為B(2)將B代入A重新進(jìn)行(1)的運(yùn)算若干步后,得數(shù)為1.這個(gè)猜想就叫做角谷猜想,目前沒有反例,也沒有證明.但也有許多人曾經(jīng)嘗試去求證這個(gè)問題：[編輯本段]一臺(tái)錯(cuò)誤的證明最簡單的證明角谷（3n+1）猜想的方法因?yàn)槿魏闻紨?shù)都能變成2^a或一臺(tái)奇數(shù)乘2^b。前者在不停的除以2之后必定為1，因?yàn)樗鼈冎挥匈|(zhì)因數(shù)2。而后者則只能剩下一臺(tái)奇數(shù)，我們可以把偶數(shù)放在一邊不談。目前只剩下奇數(shù)了。我們假設(shè)一臺(tái)奇數(shù)m，當(dāng)他進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，變成3m+1。如果這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的話，那么就有（3m+1）/2^c＝m，且m不等于1。我們嘗試一下：當(dāng)c＝1時(shí)，3m+1＝2m，，，m＝-1，不符合，舍去；當(dāng)c＝2時(shí)，3m+1＝4m，，，m＝1，不符合，舍去；當(dāng)c＝3時(shí)，3m+1＝8m，，，m＝0.2，不符合，舍去；當(dāng)c＝4時(shí)，3m+1＝16m，，，m＝1/13，不符合，舍去；……………………可見，能推翻角古猜想的數(shù)只在1或以下的范圍，所以沒有數(shù)能推翻這個(gè)猜想，所以這個(gè)猜想是正確的。[編輯本段]錯(cuò)誤分析我不敢茍同以下這種所謂的證明：“我們假設(shè)一臺(tái)奇數(shù)m，當(dāng)他進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，變成3m+1。如果這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的話，那么就有（3m+1）/2^c＝m，且m不等于1。我們嘗試一下：當(dāng)c＝1時(shí)，3m+1＝2m，，，m＝-1，不符合，舍去；當(dāng)c＝2時(shí)，3m+1＝4m，，，m＝1，不符合，舍去；當(dāng)c＝3時(shí)，3m+1＝8m，，，m＝0.2，不符合，舍去；當(dāng)c＝4時(shí)，3m+1＝16m，，，m＝1/13，不符合，舍去；。。。。。。可見，能推翻角古猜想的數(shù)只在1或以下的范圍，所以沒有數(shù)能推翻這個(gè)猜想，所以這個(gè)猜想是正確的。”要知道（3m+1）/2^c＝m這個(gè)等式左右兩邊的m是不一樣的，雖然兩個(gè)m都是奇數(shù)，但此m非彼m！上面無非就是想說一臺(tái)奇數(shù)乘以3再加1必定可以被2的n次方除盡，當(dāng)然n到底是多大要看實(shí)際情況而定。然而這種表示方法是絕對(duì)錯(cuò)誤的！不信大家可以試一試，左邊代入任意奇數(shù)m，右邊得出的m絕大多數(shù)都是跟左邊代入任意奇數(shù)m不同的。還有就是這個(gè)證明明顯存在前后矛盾，前面假設(shè)一臺(tái)奇數(shù)m，后面卻得出m＝0.2、m＝1/13這樣的結(jié)果，難道0.2、1/13這些就是所謂的奇數(shù)？連兩個(gè)m都分不清，更何況是證明呢？大家不要再犯這樣的低級(jí)錯(cuò)誤了呀，腳踏實(shí)地才是真。[編輯本段]角谷猜想的一臺(tái)推廣角谷猜想又叫敘古拉猜想。它的一臺(tái)推廣是克拉茨問題，下面簡要說說這個(gè)問題：50年代開始,在國際數(shù)學(xué)界廣泛流行著這樣一臺(tái)奇怪有趣的數(shù)學(xué)問題:任意給定一臺(tái)自然數(shù)x,如果是偶數(shù),則變換成x/2,如果是奇數(shù),則變換成3x+1.此后,再對(duì)得數(shù)繼續(xù)進(jìn)行上述變換.例如x=52,可以陸續(xù)得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循環(huán):(4,2,1).再試其他的自然數(shù)也會(huì)得出相同的結(jié)果.這個(gè)叫做敘古拉猜想.上述變換,實(shí)際上是進(jìn)行下列函數(shù)的迭代{x/2(x是偶數(shù))<br/>C(x)=<br/>3x+1(x是奇數(shù))<br/>問題是,從任意一臺(tái)自然數(shù)開始,經(jīng)過有限次函數(shù)C迭代,能否最終得到循環(huán)(4,2,1),或者等價(jià)地說,最終得到1?據(jù)說克拉茨(L.Collatz)在1950年召開的一次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上談起過,因而許多人稱之為克拉茨問題.但是后來也有許多人獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)過同一臺(tái)問題,所以,從此以后也許為了避免引起問題的歸屬爭議,許多文獻(xiàn)稱之為3x+1問題.<br/>克拉茨問題吸引人之處在于C迭代過程中一旦出現(xiàn)2的冪,問題就解決了,而2的冪有無窮多個(gè),人們認(rèn)為只要迭代過程持續(xù)足夠長,必定會(huì)碰到一臺(tái)2的冪使問題以肯定形式得到解決.正是這種信念使得問題每到一處,便在那里掀起一股&quot;3x+1問題&quot;狂熱,不論是大學(xué)或是研究機(jī)構(gòu)都不同程度地卷入這一問題.許多數(shù)學(xué)家開始懸賞征解,有的500美元,有的1000英鎊.<br/>日本東京大學(xué)的米田信夫已經(jīng)對(duì)240大約是11000億以下的自然數(shù)做了檢驗(yàn).1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆蘭(M.Vermeulen)已經(jīng)對(duì)5.6*1013的自然數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)證,均未發(fā)現(xiàn)反例.題意如此清晰,明了,簡單,連小學(xué)生都能看懂的問題,卻難到了20世紀(jì)許多大數(shù)學(xué)家.著名學(xué)者蓋伊(R.K.Guy)在介紹這一世界難題的時(shí)候,竟然冠以&quot;不要試圖去解決這些問題&quot;為標(biāo)題.經(jīng)過幾十年的探索與研究,人們似乎接受了大數(shù)學(xué)家厄特希(P.Erdos)的說法:&quot;數(shù)學(xué)還沒有成熟到足以解決這樣的問題!&quot;有人提議將3x+1問題作為下一臺(tái)費(fèi)爾馬問題.<br/>下面是我對(duì)克拉茨問題的初步研究結(jié)果,只是發(fā)現(xiàn)了一點(diǎn)點(diǎn)規(guī)律,距離解決還很遙遠(yuǎn).<br/>克拉茨命題:設(shè)n∈N,并且<br/>f(n)=n/2(如果n是偶數(shù))或者3n+1(如果n是奇數(shù))<br/>現(xiàn)用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...)).<br/>則存在有限正整數(shù)m∈N,使得fm(n)=1.(以下稱n/2為偶變換,3n+1為奇變換,并且稱先奇變換再偶變換為全變換)<br/>克拉茨命題的證明<br/>引理一:若n=2m,則fm(n)=1(m∈N)<br/>證明:當(dāng)m=1時(shí),f(n)=f(2)=2/2=1,命題成立,設(shè)當(dāng)m=k時(shí)成立,則當(dāng)m=k+1時(shí),fk+1(n)=f(fk(2k+1))=<br/>=f(2)=2/2=1.證畢.<br/>引理二:若n=1+4+42+43+...+4k=(4k+1-1)/(4-1)(k∈N),則有f(n)=3n+1=4k+1=22k+2,從而f2k+3(n)=1.<br/>證明:證明是顯然的,省略.<br/>引理三:若n=2m(4k+1-1)/(4-1)(m∈N),則有fm+2k+3(n)=1.<br/>證明:省略.<br/>定理一:集合O={X|X=2k-1,k∈N}對(duì)于變換f(X)是封閉的.證明:對(duì)于任意自然數(shù)n,若n=2m,則fm(n)=1,對(duì)于n=2k,經(jīng)過若干次偶變換,必然要變成奇數(shù),所以我們以下之考慮奇數(shù)的情形,即集合O的情形.對(duì)于奇數(shù),首先要進(jìn)行奇變換,伴隨而來的必然是偶變換,所以對(duì)于奇數(shù),肯定要進(jìn)行一次全變換.為了直觀起見,我們將奇數(shù)列及其全變換排列如下:k12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505102k-11357911131517192123252729313335373941434547495153555759616365676971737577798183858789919395979910113k-125811141720232629323538414447505356596265687174778083868992959810110410711011311611912212512813113413714014314614915223k-2147101316192225283134374043464952555861646770737633k-12581114172023262932353843k-21471013161953k-125863k-21473k-1283k-21第一行(2k-1)經(jīng)過全變換(3(2k-1)+1)/2=3k-1變成第二行,實(shí)際上等于第一行加上一臺(tái)k,其中的奇數(shù)5,11,...6k-1又回到了第一行.以下各行是等差數(shù)列3k-2,3k-1交錯(cuò)排列.由于最終都變成了奇數(shù),所以集合O對(duì)于變換f(X)是封閉的.定理二:任何奇自然數(shù)經(jīng)過若干次變換都會(huì)變成1.證明:我們看到奇數(shù)經(jīng)過全變換變成為3k-1型數(shù),3k-1型奇數(shù)經(jīng)過全變換有一半仍然變成3k-1型奇數(shù),而另一半3k-1型偶數(shù)經(jīng)過除以2有一半變成為3k-2型奇數(shù),而3k-2型奇數(shù)經(jīng)過全變換又變成為3k-1型數(shù).換句話說不可能經(jīng)過全變換得到3k-2型數(shù).下面我們只研究奇數(shù)經(jīng)過全變換的性質(zhì),因?yàn)閷?duì)于其他偶數(shù)經(jīng)過若干次偶變換,仍然要回到奇數(shù)的行列里來.我們首先證明奇數(shù)經(jīng)過若干次全變換必然會(huì)在某一步變成偶數(shù).設(shè)2a0-1是我們要研究的奇數(shù),它經(jīng)過全變換變成3a0-1,假設(shè)它是一臺(tái)奇數(shù)并且等于2a1-1,2a1-1又經(jīng)過全變換變成為3a1-1=2a2-1,3a2-1=2a3-1,...3ak-1-1=2ak-1,所以a1=(3/2)a0,a2=(3/2)a1,...ak=(3/2)ak-1.所以最后ak=(3/2)ka0,要使ak是整數(shù),可令a0=2kn,(n是奇數(shù)).于是ak=3kn.則從2a0-1經(jīng)過若干次全變換過程如下:2k+1n-1->3*2kn-1->32*2k-1n-1->33*2k-2n-1->...->3k+1n-1(偶數(shù)).然后我們證明經(jīng)過全變換變成偶數(shù)的奇數(shù)一定大于該偶數(shù)經(jīng)過若干偶變換之后得到的奇數(shù).設(shè)3k+1n-1=2mh(h為奇數(shù)),我們要證明h<2*3kn-1:h=(2*3kn-1+3kn)/2m<2*3kn-1,令a=3kn,b=2m-1,則有2ab>a+b,而這是顯然的.定義:以下我們將稱呼上述的連續(xù)全變換緊接著連續(xù)的偶變換的從奇數(shù)到另外一臺(tái)奇數(shù)的過程為一臺(tái)變換鏈.接著我們證明奇數(shù)經(jīng)過一臺(tái)變換鏈所得的奇數(shù)不可能是變換鏈中的任何中間結(jié)果,包括第一臺(tái)奇數(shù).若以B(n)表示奇數(shù)n的變換次數(shù),m是n經(jīng)過變換首次遇到的其他奇數(shù),則有定理三:B(n)=k+1+B(m),其中k是滿足3n+1=2km的非負(fù)整數(shù).證明:n經(jīng)過一次奇變換,再經(jīng)過k次偶變換變成奇數(shù)m,得證.舉例來說,B(15)=2+B(23)=2+2+B(35)=2+2+2+B(53)=2+2+2+5+1+B(5)=2+2+2+5+1+5=17原始克拉茨二十世紀(jì)30年代,克拉茨還在上大學(xué)的時(shí)候,受到一些著名的數(shù)學(xué)家影響,對(duì)于數(shù)論函數(shù)發(fā)生了興趣,為此研究了有關(guān)函數(shù)的迭代問題.在1932年7月1日的筆記本中,他研究了這樣一臺(tái)函數(shù):F(x)=2x/3（如果x被3整除或者(4x-1)/3（如果x被3除余1）或者(4x+1)/3（如果x被3除余2）則F(1)=1,F(2)=3,F(3)=2,F(4)=5,F(5)=7,F(6)=4,F(7)=9,F(8)=11,F(9)=6,...為了便于觀察上述迭代結(jié)果,我們將它們寫成置換的形式:123456789...1325749116...由此觀察到:對(duì)于x=2,3的F迭代產(chǎn)生循環(huán)(2,3)對(duì)于x=4,5,6,7,9的F迭代產(chǎn)生循環(huán)(5,7,9,6,4).接下來就是對(duì)x=8進(jìn)行迭代,克拉茨在這里遇到了困難,他不能確知,這個(gè)迭代是否會(huì)形成循環(huán),也不知道對(duì)全體自然數(shù)做迭代除了得到上述兩個(gè)循環(huán)之外,是否還會(huì)產(chǎn)生其他循環(huán).后人將這個(gè)問題稱為原始克拉茨問題.目前人們更感興趣的是它的逆問題:G(x)=3x/2（如果x是偶數(shù)）或者(3x+1)/4（如果x被4除余1）或者(3x-1)/4（如果x被4除余3）不難證明,G(x)恰是原始克拉茨函數(shù)F(x)的反函數(shù).對(duì)于任何正整數(shù)x做G迭代,會(huì)有什么樣的結(jié)果呢?經(jīng)計(jì)算,已經(jīng)得到下列四個(gè)循環(huán):(1),(2,3),(4,6,9,7,5),(44,66,99,74,111,83,62,93,70,105,79,59).因?yàn)镚迭代與F迭代是互逆的,由此知道,F迭代還應(yīng)有循環(huán)(59,79,105,70,93,62,83,111,74,99,66,44).G迭代還能有別的循環(huán)嗎?為了找到別的循環(huán),人們想到了下面的巧妙方法:由于G迭代使后項(xiàng)是前項(xiàng)的3/2(當(dāng)前項(xiàng)是偶數(shù)時(shí))或近似的3/4(當(dāng)前項(xiàng)是奇數(shù)).如果G迭代中出現(xiàn)循環(huán),比如迭代的第t項(xiàng)at與第s項(xiàng)as重復(fù)(t<s):at=as.但as/as-1,as-1/as-2,...at+1/at或等于3/2,或者近似于3/22,因而1=as/at=as/as-1*as-1/as-2*...at+1/at≈3m/2n這里m=s-t,m<n即2n≈3mlog22n≈log23m故n/m≈log23這就是說,為了尋找出有重復(fù)的項(xiàng)(即有循環(huán)),應(yīng)求出log23的漸進(jìn)分?jǐn)?shù)n/m,且m可能是一臺(tái)循環(huán)所包含的數(shù)的個(gè)數(shù),即循環(huán)的長度.log23展開成連分?jǐn)?shù)后,可得到下列緊缺度不同的漸進(jìn)分?jǐn)?shù):log23≈2/1,3/2,8/5,19/12,65/41,84/53,485/306,1054/665,24727/15601,...漸進(jìn)分?jǐn)?shù)2/1表明,31≈22,循環(huán)長度應(yīng)為1.實(shí)際上恰存在長度為1的循環(huán)(1).漸進(jìn)分?jǐn)?shù)3/2表明,32≈23,循環(huán)長度應(yīng)為2.實(shí)際上恰存在長度為2的循環(huán)(2,3).漸進(jìn)分?jǐn)?shù)8/5表明,35≈28,循環(huán)長度應(yīng)為5.實(shí)際上恰存在長度為5的循環(huán)(4,6,9,7,5).漸進(jìn)分?jǐn)?shù)19/12表明,312≈219,循環(huán)長度應(yīng)為12,實(shí)際上恰存在長度為12的循環(huán)(44,66,...59).這四個(gè)漸進(jìn)分?jǐn)?shù)的分母與實(shí)際存在的循環(huán)長度的一致性,給了人們一些啟發(fā)與信心,促使人們繼續(xù)考慮:是否存在長度為41,53,306,665,15601,...的循環(huán)?令人遺憾的是,已經(jīng)證明長度是41,53,306的循環(huán)肯定不存在,那么,是否會(huì)有長度為665,15601,...的循環(huán)呢?F迭代與G迭代到底能有哪些循環(huán)呢?人們正在努力探索中![編輯本段]角谷猜想深度擴(kuò)展任給一臺(tái)正整數(shù)n，如果n能被a整除，就將它變?yōu)閚/a,如果除后不能再整除，則將它乘b加c（即bn+c）。不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到d嗎？對(duì)此題的答案只能有3種：1不一定2一定不3一定都以下都是一定都的情況一a=b=c=d=m二a=mb=1c=-1d=0三a=mb=c=d=1四a=2b=2^m-1c=-1d=1以上（m>1)五a=2b=2^m-1c=1d=1六a=2b=c=d=2^m-1以上m為任意自然數(shù)最簡單的情況：a=b=c=d=2a=2b=1c=1d=1a=2b=1c=-1d=0原題只是五的當(dāng)m=2情況據(jù)說中國有許多人會(huì)證明了原題原題只是擴(kuò)展的一臺(tái)及其微小的部分以上數(shù)據(jù)全部成立沒有一臺(tái)反例這道題非常短小卻隱含著非常豐富的數(shù)學(xué)思想的...需要用到的東西非常多那些定理公式都非常完美可以表達(dá)非常普遍的數(shù)學(xué)規(guī)律這是一臺(tái)數(shù)學(xué)問題而不是指什么猜想絕對(duì)成立的此題重在培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考問題的能力以及逆向思維...其實(shí)這道題非常簡單不知道是不是整體證法了對(duì)以上情況的整體證法第一步：先構(gòu)造一臺(tái)2元函數(shù)這個(gè)函數(shù)揭示了一臺(tái)秘密：把能夠被a整除的全部的自然數(shù)都轉(zhuǎn)化成不能被a的自然數(shù)f(x,y)有a五a=2b=2^m-1c=1d=1用數(shù)學(xué)歸納整除規(guī)律因式分解自然數(shù)拆分...證明：(2^(mn)-1)/(2^n-1)=e當(dāng)m和n為自然數(shù)時(shí)，e為奇數(shù)m=1A1=(1)m=2A2=(1,5)m=3A3=(1,9,11)m=4A4=(1,17,19,23)m=5A5=(1,33,35,37,39)m=6A6=(1,65,67,71,73,79).........的組合無限數(shù)列A()的通項(xiàng)公式各小項(xiàng)都不能被2的m次方-1整除這個(gè)組合數(shù)列是非常簡單的只是無數(shù)個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)....
